DÉFINITION
Le produit scalaire des vecteurs
et
est un
réel ; il est noté :
Il est égal au
produit des normes des deux vecteurs, multiplié par le cosinus de l'angle qu'ils font l'un par rapport à l'autre.
Expression analytique
Si le vecteur
a pour coordonnées
(ou, si on travaille dans le plan :
) et si le vecteur
a pour coordonnées
(dans le plan :
), alors leur produit scalaire vaut :
xx'+
yy'+
zz' (dans le plan : xx'+yy').
PROPRIÉTÉS
où
est un réel
APPLICATIONS
Calcul de distances, de surfaces, de volumes.
Exemple : calcul de la distance du point A à la droite (D), de vecteur directeur :
Cette distance est la distance entre A et le projeté orthogonal de A sur
(on va le noter : H). On a donc
perpendiculaire à
; en terme de vecteurs :
orthogonal à
ce qui veut dire
On connaît les coordonnées de
, donc, connaissant le produit scalaire, on en déduit une relation entre l'abscisse et l'ordonnée de
, donc, entre l'abscisse et l'ordonnée de
; comme de plus
appartient à
, on dispose d'une relation supplémentaire entre son abscisse et son ordonnée : il ne reste qu'à résoudre un système de deux équations à deux inconnues pour trouver les coordonnées de
, et donc, calculer la distance
.
