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Systèmes oscillants

UN NOUVEAU COMPOSANT : LA BOBINE

Nous avons vu qu'une boucle de conducteur électrique traversé par un courant crée un champ magnétique $\overrightarrow{B}$; mais en outre (et ce n'est pas au programme), les champs magnétiques ont eux-mêmes une influence sur les courants électriques : lorsque le champ magnétique est variable autour d'un conducteur électrique, il apparaît aux bornes de ce conducteur une tension, dite " tension induite ", qui met en mouvement les électrons dans le conducteur : un courant électrique se met à circuler dans le conducteur. Si le champ magnétique est constant, la tension induite est nulle.

Ainsi, les courants électriques dans des boucles de conducteur créent des champs magnétiques qui, s'ils sont variables, modifient en retour le courant électrique dans le conducteur.

Cette propriété est mise à profit dans un composant électronique, la bobine : c'est tout simplement un conducteur électrique enroulé sur lui-même ; lorsque l'intensité électrique qui traverse la bobine varie, le champ magnétique créé par la bobine varie lui aussi ; de fait, les variations de ce champ magnétique provoquent une tension induite aux bornes de la bobine, qui s'ajoute à la tension due à la résistance ohmique de la bobine ; ainsi, en régime variable, la bobine ne se comporte pas comme un fil électrique. En régime stationnaire, en revanche (intensité I constante) : le champ magnétique est constant, donc aucune tension induite ne se superpose à la tension due à la résistance ohmique de la bobine : elle se comporte donc comme un fil électrique.

La tension induite dépend donc des variations du courant qui traverse la bobine ; la loi qui met en relation cette tension (e) et ce courant (i) est :

$ e = L. \frac{ d(i)} { dt } $


($L=$ constante est appelée " inductance " de la bobine ; elle s'exprime en Henry (H) )

(convention de sens : si on appelle A et B les bornes de la bobine : e est de même sens que ${U}_{AB}$ UAB si i circule de A vers B)

et la tension aux bornes de la bobine est donc la somme de la tension induite, et de la tension due à la résistance ohmique de la bobine : u = e + R.i

$ u = L. \frac{ d(i)}{dt} + R.i $


Applications
- en régime stationnaire : $ \frac{ d(i)}{dt} = 0$, donc
e = 0 : la bobine se comporte comme un conducteur ohmique $(u = R.i)$

- la tension induite e s'oppose aux variations de i : si l'intensité i augmente, alors
$\frac{d(i)}{dt} > 0$, donc $e > 0$ : cette tension tend à faire circuler le courant dans le sens opposé à i ; si l'intensité i diminue, alors $ \frac{ d(i)}{dt} < 0$, donc $e < 0$: cette tension tend à faire circuler le courant dans le même sens que i ; la bobine cherche à " compenser " les variations de i.

On appelle " bobine idéale " une bobine de résistance ohmique nulle ; la tension à ses bornes est donc égale à la tension induite :
$u= L.\frac{d(i)}{dt}$

APPLICATION : LES CIRCUITS R,L,C

La résistance R est un dipôle AB tel que :
${u}_{AB}= R.i$ (convention de sens : i circule de A vers B).

La bobine idéale est un dipôle AB tel que :
${u}_{AB}= L.\frac{d(i)}{dt}$ (avec i circulant de A vers B).

Le condensateur est un dipôle AB tel que :
${u}_{AB}= \frac{q}{C}$ où $q$ est la charge de l'armature A du condensateur de capacité C ; les variations de cette charge q dépendent du courant i (avec i circulant de A vers B) : $\frac{d(q)}{dt} = i$.

Si l'on réalise un circuit R,L,C (c'est à dire : un circuit dans lequel une résistance, une bobine idéale et un condensateur sont en série), et si l'on appelle A et B les bornes du condensateur :
- le courant i, circulant de A vers B, modifie la charge q du condensateur, selon la loi :
$i = d(q)/dt$ ; de fait, puisque ${u}_{AB} = \frac{q}{C}$ :
$i = \frac{1}{C} . \frac{d({u}_{AB})}{dt}$.
- de plus, le courant i traverse le dipôle constitué de la bobine et de la résistance, DE B VERS A (c'est donc le courant (-i) qui traverse ce dipôle de A vers B) : la tension ${u}_{AB}$, aux bornes de ce dipôle, est donc égale à : ${u}_{AB} = L.\frac{d(-i)}{dt} + R.(-i) = - L.\frac{d(i)}{dt} - R.i$

Conclusion : nous disposons de deux équations reliant ${u}_{AB}$ et i :
$- i = \frac{1}{C} . \frac{d({u}_{AB})}{dt}$
[Formule incorrecte ou erreur de parsing. Erreur 6 ]

En remplaçant i de la deuxième équation, par son expression dans la première, nous obtenons une équation différentielle de la fonction ${u}_{AB}$:

${u}_{AB} = - \frac{L}{C} .\frac{ {d}^{2}({u}_{AB})}{{dt}^{2}} - \frac{R}{C} . \frac{d({u}_{AB})}{dt} $

La résolution de cette équation donne les variations de ${u}_{AB}$ en fonction du temps.
Il est possible, à partir de cette équation différentielle, d'en établir de nouvelles, pour les fonctions q(t) et i(t) :

- puisque $q(t)=C.{u}_{AB}$ :
$q = - \frac{L}{C}.\frac{{d}^{2}(q)}{{dt}^{2}} - \frac{R}{C} . \frac{d(q)}{dt}$

- et puisque $i = \frac{1}{C} .\frac{ d({u}_{AB})}{dt}$

$C.\int idt = - L. \frac{ d(i)}{dt} - R.i$


Remarques
1. Si R=0 (circuit L,C : chaque borne de la bobine idéale est reliée à une borne du condensateur) : les solutions ${u}_{AB}$ de l'équation différentielle peuvent se mettre sous la forme : ${u}_{AB}(t) = {U}_{0}.\cos(w.t+j)$ où ${U}_{0}$ est l'amplitude, $w=\sqrt{\frac{C}{L}}$ la pulsation, et $j$, la phase d'une fonction sinusoïdale. La tension ${U}_{AB}$ oscille au cours du temps (et, par voie de conséquence : la charge q aussi, qui est proportionnelle à ${u}_{AB}$ : $q=C.{u}_{AB}$, et l'intensité i aussi, qui est proportionnelle à la dérivée de ${u}_{AB}$ par rapport au temps : $i = \frac{1}{C} . \frac{ d({u}_{AB})}{dt}$ ; or la dérivée d'une fonction sinusoïdale est elle-même une fonction sinusoïdale).

Intuitivement : le courant i charge le condensateur ( donc ${u}_{AB}$ augmente) ; le condensateur tend naturellement à se décharger : les charges ressortent du condensateur, le sens du courant change. Mais la bobine s'oppose aux variations de courant : elle atténue la décharge du condensateur (i est plus faible que ce qu'il serait dans un circuit sans bobine) ; et, lorsque le condensateur s'est complètement déchargé (le courant devrait alors s'annuler) : la bobine s'oppose à cet arrêt du courant, et crée un courant de même sens que le courant qui était émis par le condensateur ; en conséquence, le condensateur se recharge (mais avec une charge de signe opposé à la charge précédente), jusqu'à ce que la tension ${u}_{AB}$ devienne suffisante pour que le condensateur " l'emporte " à nouveau, et réussisse à se décharger dans la bobine : i rechange de sens, et tout recommence ...

2. Lorsque R est non nul (cas d'un dipôle R,L,C) : selon la valeur de R par rapport à L et C, plusieurs cas se rencontrent :

- si R est faible : ces oscillations se retrouvent, mais elles sont amorties : à chaque fois qu'une intensité i traverse la résistance, la résistance dissipe une partie de la puissance électrique par effet Joule (" régime périodique amorti ") ; la pulsation de ces oscillations vaut alors : $\frac{\sqrt{4L.C-{R}^{2}}}{2L}$
- si R est forte : il n'y a plus d'oscillation : dès la première décharge du condensateur, toute la puissance est dissipée par effet Joule, et l'inductance de la bobine ne suffit pas à maintenir le courant i : i ne change jamais de sens, il s'annule progressivement (régime " apériodique ").

SYSTÈME MÉCANIQUE OSCILLANT

Soit un solide de masse m fixé à l'extrémité d'un ressort de raideur k, et posé sur un plan horizontal (le système se déplace sans frottement) : la relation fondamentale de la dynamique donne :

$\sum \overrigtarrow{F} = \frac{d\overrightarrow{p}}{dt} $

et puisque $m=$ constante : $\sum \overrightarrow{F} = m . \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} $
Le poids et la réaction du support s'annulent, donc la somme des forces est égale à la force exercée par le ressort ; en projection sur un axe des abscisses confondu avec l'axe du ressort (origine des abscisses : la position du solide lorsque le ressort est au repos) :

- $k.x = m.\frac{d(v)}{dt}$
- $k.x = m.\frac{{d}^{2}(x)}{{dt}^{2}}$

Cette équation différentielle est analogue à celle que nous avons trouvée dans l'étude du système oscillant électrique : x joue le rôle de q, m joue le rôle de L, k joue le rôle de C, et v (dérivée de x par rapport au temps) joue le rôle de i. Cette analogie est logique : m (masse du solide) donne de l'inertie au mouvement du solide ; de même, L (inductance de la bobine), en s'opposant aux variations de i, donne de l'inertie à i ; k (raideur du ressort) met en mouvement le solide ; de même, C, capacité du condensateur, est à l'origine de la circulation du courant i, pendant la charge et la décharge du condensateur.

Si le système glisse avec frottements sur le plan horizontal, et que ces frottements sont proportionnels à la vitesse : la constante de proportionnalité joue le rôle de R (cette analogie également est naturelle : les frottements, ainsi que l'effet Joule, sont des phénomènes dissipatifs).

Cette analogie entre les équations se traduit par une analogie de leurs solutions : dans le système mécanique également, le régime peut être périodique (oscillations du solide autour de sa position d'équilibre, sans frottements), périodique amorti (le solide oscille autour de sa position d'équilibre, mais avec une amplitude décroissante, à cause des frottements sur le support), ou apériodique (les frottements sont trop forts : lorsqu'on lâche le solide, il se rapproche de sa position d'équilibre, mais trop lentement pour l'atteindre et la dépasser : il se contente de tendre vers sa position d'équilibre).

RÉGIME FORCÉ

Lorsqu'on cherche à imposer un mouvement périodique à un système naturellement oscillant (circuit R,L,C, solide fixé à un ressort, ...), la réponse du système (c'est à dire : l'amplitude de ses oscillations) dépend de la fréquence à laquelle on cherche à le faire osciller.

Comment " forcer " des oscillations ?
Dans le cas d'un circuit R,L,C : si on branche aux bornes du condensateur ou de la bobine un générateur de courant sinusoïdal : le générateur impose les variations de la tension aux bornes où on l'a branché ; c'est le circuit qui s'adapte, et qui fait circuler une intensité i compatible avec la tension qu'on lui impose.

Dans le cas d'un solide fixé à l'extrémité d'un ressort : en le tirant par une ficelle, à une fréquence donnée (mais sans le tenir par la main : on laisse libre l'amplitude du mouvement, on se contente de modifier sa fréquence).

On appelle " fréquence propre " du système oscillant la fréquence à laquelle il oscille quand on ne force pas ses oscillations ; nous avons vu que, pour un circuit R,L,C, la pulsation propre valait $\frac{\sqrt{(4L.C-{R}^{2})}}{2L}$, donc sa fréquence propre vaut :

$ \frac{1}{2 \pi} . \sqrt{\frac{4LC - {R}^{2}}{2L}} $


On dit qu'il y a " résonnance " lorsque la fréquence à laquelle on veut imposer les oscillations du système, est justement égale à la fréquence propre de ce système. Dans ce cas, la réponse du système (dans le cas du circuit électrique, la réponse est l'intensité qui y circule, et la charge du condensateur ; dans le cas du solide, la réponse est le déplacement du solide) est maximale : c'est quand la fréquence imposée à un circuit R,L,C est égale à sa fréquence propre, que l'amplitude des variations de i (et donc : l'intensité efficace dans le circuit) est maximale ; c'est quand la fréquence imposée à un solide fixé à un ressort est égale à sa fréquence propre, que l'amplitude de ses déplacements est maximale.

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