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| NB : ne sachant pas écrire un L en écriture cursive minuscule j’ai choisi de le remplacer par e Le limaçon de Pascal Dans le plan d’un repère orthonormal (O ;i,j), on trace un cercle C de centre W (oméga) de coordonnées (R ; O) et de rayon R (R nombre réel positif non nul). On trace la droite D passant par O et de vecteur directeur u (cos théta ; sin théta ) , Théta appartient à l’intervalle moins pi, pi exclu moins pi sur 2 ;pi sur 2 La droite D coupe le cercle C en A. On définit un point M par le vecteur AM = e u (vecteur) et ( e réel non nul ) Voir NB Lorsque D pivote autour de O, le point M décrit une courbe dite « limaçon de pascal » 1.Construction des tangentes a. Calculer les coordonnées de A b. Démontrer que les équations paramétriques du limaçon sont : x(théta) = 2 R cos² théta + e cos théta y (théta) = R sin 2théta + e sin théta c. Calculer les coordonnées du vecteur dérivé v(théta) au point M (théta) de la courbe. d. Soit A’ le point diamétralement opposé à A sur le cercle C. Calculer les coordonnées de A’. e. Démontrer que le vecteur A’M . v(théta) = 0 f. En déduire une construction de la tangente en tout point du limaçon. g. Le limaçon prend différentes formes selon les valeurs de R et e. Etudier le tracer de la courbe paramétrée pour e = 1 et R = 1. 2. Limaçon et trisection On désire trisecter l’ange aigu xOy . On effectue toutes les constructions suivantes : on choisit un point W (oméga) sur [Ox). On trace ensuite le cercle de centre W (oméga) qui passe par 0 et qui coupe [Oy) en B . On considère alors le limaçon de Pascal tel que e = R . Soit I la projection orthogonale de W (oméga) sur [OB] . Le segment [W(oméga) I] coupe en M la petite boucle du limaçon. La droite (OM) recoupe le cercle en A . On trace [ AW(oméga)] . Démontrer que MAW(oméga) et AW(oméga)O sont deux triangles isocèles. On trace la médiatrice (AJ) de [W(oméga) M] . Démontrer que l’angle AOB = 1/3 de l’angle W(oméga)OB . On vient de trisecter cet angle. |
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