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| Partie B Dans cette seconde partie, on se propose de déterminer l’ensemble E de toutes las fonctions f , dérivables sur R et vérifiant pour tous réels x et y : f(x+y)+x+y=[f(x)+x]|[f(y)+y] (I) 1)a-En posant x=y=X/2, démontrer que: Pr tt f dans E et pr tt réel X, f(X)+X>ou égal à 0 b-Démontrer que si f appartient à E, alors nécessairement, f(0)=0 ou f(0)=1. 2)Déterminer la fct f lorsque f(0)=0 3)a- Démontrer que s’il existe réel x0 tel que f(x0)+x0=0 alors: Pr tt reel x, f(x)+x=0 (on pourra par exemple remarquer que x=(x-x0)+x0 et utiliser la relation (I)) b-En déduire que si f(0)=1 alors pr tt reel x: f(x)+x>0. c-On suppose que f(0)=1 et on posef(1)+1=a Démontrer par récurrence que: pr tt n dans N, f(n)+n=a^n (a^0=1) En déduire qe pr tt n dans Z: f(n)=a^n-n 4)On pose pr tt f dans E, f ‘(0)=+1=k. Soit c un réel donne quelconque. En dérivant par rapport à x les deux membres de la relation: f(x+c)+x+c=[f(x)+x][f(c)+c], démontrer que pr tt reel c, f’(c)+1=k[f(c)+c] 5)La question 4) prouve donc que toute fct f de E vérifie la relation (II): pr tt reel x, f’(x)+1=k[f(x)+x] Avec k=f’(0)+1. On pose pr tt f de E et pr tt reel x: g(x)=f(x)+x. a-Exprimer g’(x) en fonction de k et g(x). b-Trouver ttes ls fnctions g vérifiant cette dernière relation et en déduire les fonctions f solutions de (I). Re bonjour! Je voudrais de l'aide pour la question 4).Apres avoir dérivé, je n'arrive pas au résultat.. |
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