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Bonjour !
J'aurais besoins d'indication pour effectuer mon travail à la maison.
Voici l'ennoncé:
(ne trouvant pas le symbole Phi je l'ai remplacé par Delta)
A] Le nombre d'or
1) Résoudre dans l'équation x²-x-1 = 0
La solution positive, notée est appelée "nombre d'or"
2) Démontrer les égalités:
 ²= +1
1+1/=
![$\sqrt{1+[tex]$\Delta $](/latexrender/pictures/x27f74b4f6b177ed5404132e0e008ef50.png.pagespeed.ic.WzeoGsDkbs.png "$\sqrt{1+[tex]$\Delta $") }$[/tex]=
(²+1)/2-1=
B] La suite (an)
On pose a0=2, pour tout n0, an+1= 1+(1/an).
1) Montrer que, pour tout n1, 3/2 an2
2) Prouver que, pour tout n1, |an+1-| 4/9 |an-|. (Utiliser la question A]2))
3) En déduire, par récurrence, que pour n1 :
|an-| (4/9)n-1|a1-| puis que:
|an-| (4/9)n (pour n1)
4) Prouver que (an) est convergente et déterminer sa limite.
5) Déterminer un entier n1, tel que, si n n1, alors:
|an-|10^-6
Voilà un ennoncé un peu consistant, je dois le reconnaître (;
En ce qui concerne l'exercice, pour les questions:
A]1) Je l'ai traitée ... On trouve le nombre d'or égal à 1+5/2 et 1-5/2. Sachant qu'on veut prendre un nombre positif on ne garde que 1+5/2.
A]2) Pour ²=+1, c'est résolu.
On trouve (5+3)/2 pour les deux termes.
Pour 1+(1/)=, en caculant on trouve bien 1+5/2 à la fin dans les deux cas.
Pour }$[/tex]=, j'ai besoin d'un peu d'aide en ce qui concerne le développement car je m'enmêle un peu les pinceau...
Pour (²+1)/(2-1)=, je ne l'ai pas encore traitée, mais je suppose qu'il faut réutiliser les deux premières égalités ?
Je n'ai pas encore touché à la partie B] parce que j'aime bien que tout soit clair dans la partie précédente.
Mais quelques conseils d'applications sont les biens venus.
Ps: J'espère que la question restera ouverte quand même après votre réponse,si jamais je bloque après dans B].
Et puis désolé si jamais un caractère s'est mal affiché :s
Merci d'avance de m'apporter votre aide !
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J'ai ajouté le sujet en jpg ci-joint, parce que en effet il y a des problèmes avec les notations :s ...
Donc pour "(P^2+1)/(2-1) = P" c'est (P^2+1)/(2P-1) = P
Et pour le rac (1+P) = P ?
Sinon oui il ya pas de problème dans le A], mais j'ai préféré passé en remplaçant par les valeurs numériques.
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Oui enfait ça parait évident vue comme ça ... :)
Pour la B]1), j'ai bien compris qu'il s'agissait d'une démonstration par récurrence qui est demandée mais je sais pas si le départ est bon ou non car je n'aboutit pas à la conclusion, voilà :
On a:
a0 = 2
an+1 =1+1/an avec n>1
On conjecture que (an) est compris entre 3/2 et 2
1ère étape: Initialisation
On vérifie que an< an+1 d'où
a0= 2
a1 = 1+1/2 = 3/2
2ème étape: Hérédité
On suppose que la proriété est vraie au rang n donc que an
On essaie de démontrer qu'elle l'est aussi au rang n+1 c'est à dire an+1 < an+2
Et après je vois pas ... soit j'ai mal fait pour le début avec l'encadrement, soit je comprend pas.
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Okay donc pour l'initialisation faut juste prouver que a1 est compris entre 3/2 et 2.
Et pour l'hérédité c'est bon aussi.
Pour la conclusion, on récapitule que a1 est compris entre 3/2 et 2 et qu'on a an+1 compris entre 3/2 et 2 aussi, donc que 3/2< an < 2.
Juste?
Pour la B]2) le 4/9 vient de quelle égalité?
Pour la B]3) je vais avoir besoin d'éclairage aussi ...
Pour la 4) je connais la méthode donc je pense y arriver.
Et la 5) ... Besoin d'une méthode pour y arriver parce que je vois pas comment procéder pour le moment.
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C'est okay pour la suite réccurente j'ai trouvé, merci.
Pour le 2) je proposerai:
a(n+1) = 1+(1/an)
Phi = 1+1/Phi
En soustrayant membre à membre:
[a(n+1)|-Phi] = 1/a(n) - 1/Phi = [Phi-a(n)]/[a(n)Phi]
Alors a(n) > 3/2 et Phi = 1,62 > 3/2 (encadrements déjà faits)
Donc a(n) Phi > 9/4
En bref, |a(n+1)-Phi < 4/9 |an-Phi|
Est-ce juste?
3) Je sais pas si c'est juste mais voilà ce qu'il en est:
Démonstration par récurrence
Initialisation à l'ordre 0:
|a0-Phi| < (4/9)^0-1 X |a1-Phi|,
|2-Phi|<(4/9)^1 * |3/2 - Phi|,
comme on multiplie 3/2 par 4/9 alors c'est vrai.
Hérédité:
On suppose que |an-Phi|<(4/9)^n-1 * |a1-Phi|, est vraie pour un certain n, à démontrer, |an+1-Phi| < (4/9)^n+1-1 * |a1 - Phi|,
D'après l'hypothèse de récurrence |an-Phi|<(4/9)^n-1*|a1-Phi|
On sait que |an+1-Phi|<(4/9)*(an-Phi),
|an+1-Phi<(4/9)*|an-Phi<(4/9)*(4/9)^n-1*|a1-Phi|
|an+1-Phi|<4/9 * |an-Phi|<(4/9)*(4/9)^n-1*|a1-Phi|<(4/9)*(4/9)^n * |a1-Phi|
En conclusion, l'hypothèse de récurrence est vrai au rang n+1 donc pour
(n>1) |an-Phi| < (4/9)^n-1 * |a1-Phi|, et |a^n-Phi<(4/9)^n
J'espère que ça ira pour la lecture :s
4) On a |an-Phi| < (4/9)^n,
la suite (4/9)^n-1 converge vers 0; par le théorème des gendarmes, |an-Phi| converge vers 0, et donc an converge vers Phi.
Juste?
5) Je trouve approximativement n1=16 pour une borne supérieur d'ordre 5,215*10^-6.
J'aimerai un peu d'aide pour la rédaction de cette question sachant que c'est juste un résultat trouvé avec la calculatrice, pas d'autre moyen de trouver ce résultat par le calcul?
Merci encore ;)
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