Exercice de probabilités

1) Soit X les dépenses totales des visiteurs
m = 175 et V = 50
X suit une loi normale donc X = VT+m = 50T+175 et X = N(175;50)
a) P(X < 200) = P(50T+175 < 200) = P(T<25/50) = P(T<0,5) = 0,6915
P(150 < X < 200) = P(50T+175 < 200 – P(50T+175 < 150)
= 0,6915 – P(T < -0,5)
= 0,6915 – P(T > 0,5)
= 0,6915 – [1 – P(T < 0,5)]
= 0,6915 – [1- 0,6915] = 0,383
P(X > 160) = P(50T + 175 > 160) = P(T > -0,3) = P(T < 0,3) = 0,6179
Tous les résultats ont été trouvés dans la table des lois normales
b) intervalle de confiance au risque 5 % du montant des dépenses du visiteur
& = 5 % est l'intervalle [m – 1,96 ¶ ; m + 1,96 ¶ ]
donc l'intervalle pour les dépenses du visiteur au risque 5 % est de:
{175 – (1,96*50 ; 175 + (1,96*50)}= {77;273}

2) n = 15 visiteurs
soit N le nombre des clients qui dépensent moins de 200 euros
dépense moins de 200 euros: p = 0,6915
a) 1client /
dépense plus de 200 euros: q = 1 – 0,6915 = 0,3085
De plus le choix est indépendant donc N suit une loi binomiale notée
N = B(15 ; 0,6915)

Espérance E(N) = n.p = 15*0,6915 = 10,37
Variance V(N) = n.p.q = 15*0,6915*0,3085 = 3,20
Ecart type¶ (N) = racine de V(N) = 1,79

b) probabilité qu'il y ait exactement 2 visiteurs qui dépensent moins de 200 euros dans l'échantillon de 15 visiteurs
2 2 13
P(N=2) = C x 0,6915 x 0,3085
15
= 0,0000115


3) Soit Y le nombre annuel de visiteurs qui mangent à la cafétéria
Y suit une loi de poisson de paramètre 5 donc Y = P(5)
a) P (Y = 4) = P(Y P(Y > ou égal à 3) = 1 – P(y< ou égal à 2 = 1 – 0,1247 = 0,8753
P(Y>6) = 1 – P(Y< ou égal à 6) = 1 – 0,7622 = 0,2378
P(3 = 0,4913
b) On veut le plus grand nombre k tel que P(Y>k) < 0,01 <=> 1 – P(Y< ou égal à k) < 0,01
<=> P(Y< ou égal à k > 0,99
D'après le tableau de Poisson k = 16
Ainsi la probabilité qu'il y ait plus de 16 milliers de visiteurs par an qui mangent dans la cafétéria est quasiment nulle (< 0,01)

Au cas où vous n'arriveriez pas à lire le texte ci dessus, je vous fais parvenir le fichier open office correspondant

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