Suite

2. On constate que, pour tout n appartenant à , vn est strictement positif et on pose wn=ln(vn) .
Démontrer que la suite (wn) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme w0 et la
raison.

on trouve si on se base sur la correction 2c du bac 3(lien pdf)
http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/TS/bac/TSBacblanc6_yl.PDF
1/2 exposant 2n

or je serais tenté de dire que cela fait
1/2 X 2exposant n

puisque e ln (ab) = a

Merci
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je m'aide de cette correction

http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/TS/bac/TSBacblanc6_yl.PDF

exercice 2

Soit f , la fonction définie pour x >
2
1
par :
2x -1
x
(x)
2
f = .
1. Montrer que, pour tout x > 1, f(x) > 1.
On peut donc définir la suite (un) par :
î í ì
= +
=
( )
2
1
0
n n u f u
u
; on se propose, dans la suite de l'exercice,
d'exprimer un en fonction de n.
2. On considère les suites (vn) et (wn) telles que, pour tout entier naturel n, vn =
un
un -1
et wn = ln(vn).
2.a. Montrer que les suites (vn) et (wn) sont définies pour tout entier naturel n.
2.b. Démontrer que (wn) est une suite géométrique; on donnera ses éléments caractéristiques.
2.c. Exprimer, pour tout entier naturel n, wn, puis vn, en fonction de n.
3.a. En déduire que : un = 2n
2
1
1
1
÷ø
ö çè
æ -
.
3.b. Calculer la limite de la suite (un).

correction:

x62x – 1 est dérivable et non nulle sur ]
2
1
; +¥[
x 6x2 est dérivable sur ]
2
1
; +¥[
donc f est dérivable sur ]
2
1
; +¥[ et f'(x) =
(2x 1)2
2x(x 1)
(2x 1)2
2x(2x 1) 2x 2
-
-
=
-
- -
Sur ]1 ; +¥[, f''(x) > 0 donc f est strictement croissante ; de plus, f(1) = 1
Donc pour tout x > 1, f(x) > 1
2.a. Montrons par récurrence que un > 1, pour tout n entier naturel :
* Initialisation : pour n = 0, u0 = 2 ; on a bien u0 > 1
* Hérédité : hypothèse de récurrence : un > 1
Montrons qu'alors un+1 > 1:
un+1 = f(un) par définition de la suite.
De plus, d'après 1., si un > 1 alors f(un) > 1 ; On a bien un+1 > 1
* Conclusion : un > 1, pour tout n entier naturel
Si un > 1, alors (vn) est définie (un ¹0) et strictement positive (un – 1 > 0 et un > 0 ) pour tout entier n.
Si (vn) est définie et strictement positive, alors (wn) est définie pour tout entier n.
2.b. wn+1= 0
u n
u n 1
car
u n
u n 1
2ln
2n
u
1) 2 (u n
ln
2n
u
1 n 2u 2n
u
ln
2u n 1
2
u n
1
2u n 1
2
u n
) ln
u n 1
u n 1 1
ln( >
- -
=
-
=
- +
=
-
-
-
=
+
+ -
÷ ÷ø
ö
ç çè
æ
÷ ÷
ø
ö
ç ç
è
æ
÷ ÷
ø
ö
ç ç
è
æ
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ø
ö
ç ç ç ç ç
è
æ
On a donc wn+1 = 2wn, pour tout n entier.
(wn) est une suite géométrique, de raison 2 et de premier terme w0 = ln ÷ø
ö çè
æ
2
1
.
2.c. wn = ln x2n
2
1 ÷ø
ö çè
æ (terme général d'une suite géométrique de raison 2 et de premier terme ln ÷ø
ö çè
æ
2
1
).
vn =
n
n
n
2
*2
2
1
ln
w
2
1
e e ÷ø
ö çè
= = æ
÷ø
ö
çè
æ
3.a. un =
1 v n
1
-
= 2n
2
1
1
1
÷ø
ö çè
æ -
l 2 l , u 1