Tout d'abord je tiens à vous remercier pour votre aide et également à m'excuser pour l'attente de ma réponse car je n'étais pas chez moi ces derniers jours.

J'ai réussi à faire la seconde question, voila ce que j'ai fais :
Nous savons que les points A et B coupe l'axe des abscisses donc y=0 soit (x+1/2)^2=16.25
Donc, x^2+x+1/4=16.25
<=> x^2+x-16 =0
Ainsi, j'ai cherché delta avec b^2-4ac=65
Donc j'ai cherché ensuite x1 et x2.
x1= (-1-V65) /2 = environ -4,53
x2= (-1+V65) /2= environ 3.53

De plus, nous savons que les points C et D coupe l'axe des ordonnées donc x=0 soit (y-2)^2 = 16.25
<=> y^2 -4y+4=16.25
<=> y^2-4y-12.25=0
J'ai ensuite cherché delta tel que b^2-4ac= 65
J'ai donc ensuite cherché y1 et y2
y1= (4+V65) /2 = environ 6
y2= (4-V65) /2 = environ -2

En revanche, je ne comprends toujours pas comment je dois procéder pour la troisièmes question.

En attente de votre réponse, je vous remercie d'avance.

Il n'y a aucun problème.

Suite à votre correction, j'ai pu résoudre la seconde équation avec x=0 soit
(0+1/2)^2 +(y-2)^2 =16.25
<=> 1/4 +y^2-4y+4 = 16.25
<=> y^2-4y-12 =0
<=> (y-6)(y+2) =0
Ainsi, on croise les ordonnées 6 et -2 et qui correspondent respectivement à C et D. Ainsi, C(0;6) et D (0; -2).

En attente de votre aide pour l'orthocentre, je vous remercie d'avance.

Tout d'abord, l'orthocentre est selon moi le point d'intersection des trois hauteurs d'un triangle. Pour répondre â votre question, oui je connais les notions de vecteurs et de produits scalaires, mais je ne vois pas comment les utiliser ici. De plus, d'après ma figure les coordonnées du point H sont (0;2). Enfin, ce point se trouve au moins sur l'une des hauteurs du triangle ABC et plus précisément sur la hauteur de [AB]. En effet, une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Ici, [AB] est le segment sur l'axe des abscisses et C est un point appartenant à l'axe des ordonnées.Ces deux axes étant orthogonaux, ou perpendiculaires, et H appartenant à cet axe des ordonnées, H est bien une hauteur de [AB] issu du point C. (Mon explication n'est pas très claire, mais je ne sais pas comment l'expliquer). En attente de votre réponse, je vous remercie d'avance.

Donc, tout d'abord, le symétrique d'un point (x;y) par rapport à l'axe des abscisses est (x;-y). Ainsi, ici, le symétrique de D(0;-2) par rapport à l'axe des abscisses est le point H de coordonnées (0;2).

De plus, le point H se trouve tout d'abord sur la hauteur de [AB]. En effet, par définition, une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Ici, [AB] est le segment sur l'axe des abscisses et C est un point appartenant à l'axe des ordonnées. Ces deux axes (abscisses et ordonnées) étant orthogonaux, ou perpendiculaires, et H appartenant à cet axe des ordonnées, H est bien une hauteur de [AB] issue du point C.

De plus, [HB] est la hauteur du côté [AC] <=> HB.AC=0
Ainsi, vecteur HB (3;-2) et AC(4;6).
Donc HB.AC = 3X4-2X6=0
Ainsi, H se trouve également sur la hauteur [AC].

Ainsi, H est bien l'orthocentre du triangle ABC.

Est ce bon ?
Sinon, je vous remercie pour votre aide. Et, samedi j'ai également demandé une correction et de l'aide pour un second exercice, mais je n'ai toujours pas eu de réponse, si vous pouviez m'aider sa serait très gentil. Le titre de cette seconde correction est: Intersection d'une droite et d'un cercle.
En attente de votre réponse, je vous remercie d'avance.