Image et image reciproque

Mathematiques > sujets expliqués - 31/01/2016 - correction

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		Bonjour , Je ne comprend pas lire
		Bonjour, Il aurait ?t? pr?f?r lire

Bonjour,
Il aurait ?t? pr?f?rable que vous essayiez de pr?ciser ce que vous ne comprenez pas dans l’?nonc? afin de vous guider de mani?re plus adapt?.
L’exercice vise ? vous faire comprendre les d?finitions de base des propri?t?s d’une application associant les ?l?ments de deux ensembles. En l’occurrence, l’application not?e ? g ? associe les ?l?ments de l’ensemble ? G ? aux ?l?ments de l’ensemble ? H ?. Ainsi l’?l?ment ? 1 ? de l’ensemble G est associ? ? l’?l?ment ? a ? de l’ensemble H par l’application g. On dit que a est ? l’image ? de 1 par l’application g. On peut ?crire g(1)=a. De m?me g associ? l’?l?ment 2 ? c, ou encore 3 ? c. On peut ?crire g(2)=c, ou g(3)=c etc…
La premi?re s?rie de question vous demande de consid?rer des ? sous-ensembles ? C et C’ de l’ensemble plus large G. Le sous-ensemble C ne contient que deux ?l?ments qui sont 1 et 2. Donner les ?l?ments de g(C) n?cessite de regarder quels sont les ?l?ments dans H qui sont associ? ? chacun des ?l?ments de C, sous-ensemble de G par l’application g. Dans le cas du sous-ensemble C, Il faut donc regarder quel est l’?l?ment associ? ? g(1) et ? g(2). Les r?ponses sont a et c donc on peut ?crire g(C)={a,c}. Pour g(C’) il vous suffit de regarder les ?l?ments associ? ? 1 et 3 dans H.
Les questions 1 )b) et 1)c sont similaires mais il faut cette fois consid?rer des sous-ensemble de G un peu diff?rents puisqu’il s’agit soit de ? l’union ? de C et C’ soit de leur ? intersection ?. L’union de deux ensembles C et C’ comporte simplement la totalit? des ?l?ments de C et des ?l?ments de C’ donc (C U C’) = {1,2,3} et donc g(C U C’) = {g(1), g(2), g(3)} c’est-?-dire g(C U C’) ={a,c} car 2 et 3 sont tous les deux associ?s ? c. L’intersection de C et C’ ne comporte qu’un seul ?l?ment, le seul ?l?ment commun ? C et C’ c’est-?-dire ? 1 ?. Vous pouvez donc trouver l’image de 1 et cela vous donnera l’image de l’intersection de C et C’.
La deuxi?me question vous demande de faire le m?me genre de raisonnement mais cette fois sur les images r?ciproques (on dit aussi les ? ant?c?dents ?) c’est-?-dire sur les ?l?ments de G qui sont associ? ? ceux de H par l’op?ration inverse de g (il suffit de suivre les fl?ches en sens inverse !) Ainsi d?terminer g-1(D) revient ? trouver quels ?l?ments de G ont pour image a, ou b, ou c par l’application g. ? a ? a pour ant?c?dent 1, ? b ? n’a pas d’ant?c?dent (aucune fl?che ne pointe sur b) et c a pour ant?c?dent ? 2 ? et ? 3 ?. donc g-1(D)={1,2,3}. Il vous suffit de faire le m?me raisonnement pour les autres sous-ensembles D’ et D’’. La m?me d?marche vous donnera les r?ponses pour les questions 2b) et 2c)
L’application ? g ? serait injective si pour tout ?l?ment y dans l'ensemble d’arriv?e H, il existe au plus un ?l?ment x dans l'ensemble de d?finition G tel que g(x) = y. Etant donn? que les ?l?ments C et e de H ont plusieurs ant?c?dents dans G (par exemple c a trois ant?c?dents qui sont 2, 3 et 5. Donc g n’est pas une injection
Enfin, par d?finition, pour que g soit une surjection il faudrait que tout ?l?ment de H ait au moins 1 ant?c?dent… regarder si c’est le cas pour l’?l?ment ? b ?.
Pour que nos ?changes vous soit plus profitables, une prochaine fois il serait important que vous ?criviez ce que vous arrivez ? faire ou pas, les d?finitions de cours que vous ne comprenez pas ou les points pr?cis de l’?nonc? qui vous bloquent.
Bien cordialement

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